Problemas de Areas y Perimetros

3 problemas, Investigaciones y video Pato Donald.

PROBLEMAS:

5 trajes y 3 pantalones cuestan 4180 sales y 8 trajes y 9 sombreros 6940.

Hallar el precio de un traje y de un sombrero.

X	Y
2	1390
3	1388.3
4	1386.6
5	1385
6	1383.3

X	Y
2	769.3
3	768.4
4	767.5
5	766.6
6	765.7

5x + 3y =4180

8x + 9y =6940

Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $51400. Si mas tarde, a los mismos precios compro 8 vacas y 9 caballos por $81800. Hallar el costo de una vaca y un caballo.

X	Y
2	7341.7
3	7341.1
4	7340.5
5	7340
6	7339.4

X	Y
2	9087.1
3	9086.2
4	9085.3
5	9084.4
6	9083.5

4x+7y=51400

8x+9y=81800

En un cine 10 entradas de adulto y 9 de nuño cuestan $5.12 y 17 de niño y 15 de adulto cuestan $8.31. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.

X	Y
2	-1.6
3	-7.7
4	-3.8
5	-4.9
6	-6

X	Y
2	-1.2
3	-2.1
4	-3
5	-3.9
6	-4.8

10x+9y=5.12

15x+17y=8.31

TEOREMA DE PITÁGORAS:

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

(1)

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS:

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[1]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c²) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b² + a²), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

FÓRMULAS PARA CALCULAR EL ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS:

Triangulo:
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.
Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:
Área del triángulo = (base x altura) / 2
(tipos de triángulos: Isósceles, escaleno y equilátero)
Cuadrado:
El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del cuadrado = lado al cuadrado
Rectángulo:
El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del rectángulo = base.altura
Rombo:
El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del rombo= (diagonal mayor x diagonal meno)/ 2
Trapecio:
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2
Paralelogramo:
El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del paralelogramo = base.altura
Pentágono:
El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2
Hexágono:
El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.
Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2

Circulo:
El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del círculo = 3'14. radio al cuadrado

TEOREMA DE PITÁGORAS PATO DONALD:

Te presenta en un video animado al Pato Donald que anda de casería y quiere matar un conejo! Pero se le va y se enoja y el narrador le dice que no hay nada que las maravillas de las matemáticas no puedan resolver! Y el dice: mmmm las matemáticas son solo para los intelectuales; y se va muy molesto.

El narrador lo trata de convencer de que las matemáticas no solo se tratan de números, sin ellas no se hubiera inventado la música.

Y lo traslada en el tiempo a Grecia el lugar del padre de las matemáticas y la música  “PITAGORAS”.

Lo pone a hacer un experimento con una simple cuerda primero le dice que ponga su dedo a la mitad y la haga sonar y así sucesivamente y escuchar los sonidos.

Con esto llega a la conclusión de que Pitágoras descubrió que todas las razones estaban a 2 para 1.

Con esta escala colocó 6 cuerdas de diferente tamaño para lograr sonidos del mas grave (6) al mas agudo (1).

Imagina la emoción de Pitágoras cuando les comunico su descubrimiento a sus amigos!

Todos sus amigos intelectuales se reunieron en secreto para contar sus descubrimientos matemáticos, todos usaban un emblema secreto para poder pasar a la reunión.

Fue así que surgieron las escalas que tenemos hoy en día para hacer muscia.

En lo personal me gusto mucho el video porque te enseña el descubrimiento de Pitágoras y te da a conocer quien fue él.

En unos momentos no se le entiende mucho a lo que habla el narrador y el Pato Donald.

LINK:

http://www.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA